PI 소수점과 모든 가능한 숫자열

 

Q : PI는 순환되지 않는 무한 소수로 이루어져 있습니다. 이 때 우리는 이 무한한 + 순환되지 않는 소수가 0~9로 이루어진 모든 가능한 숫자열을 포함하는지 생각해봅니다. 직관적이고 단순한 대답은 '아니요'입니다. 99999....9999로만 계속해서 1억 9천 만개 이루어진 수열은 PI에 존재하지 않기 때문입니다. 이는 직관적인 대답이고 이를 조금 더 엄밀하게 증명할 수 있을까요 ? 순환하지 않는 무한한 PI의 소수점이 0~9로 이루어진 모든 가능한 숫자열을 포함하지 않는다는 근거를 제시해보세요

(일반인들조차 읽을 수 있도록 일부러 평이한 수준으로 작성했습니댜)  

 

전제 : 칸토어의 대각선 논법에 따르면, 무한이라고 해도 그 안에 각기 분류는 다를 수 있습니다. 조금 더 쉽게 말해서 카운터블 무한과 비카운터블 무한으로 나눌 수 있습니다. 자연수로 일대일 대응이 될 수 있는 무한은 카운터블 무한이고 실수 전체와 같이 자연수로 일대일 대응이 될 수 없는 무한은 비카운터블 무한입니다

 

1. 0~9로 나타낼 수 있는 모든 숫자열의 집합이 비카운터블 무한인 이유?

"모든" 가능한 숫자열이 말 그대로 "모든"이기 때문입니다. 예를 들어, 0~9로 나타낼 수 있는 모든 숫자열 앞에 "0."이 찍혀있다고 해보겠습니다 즉 모든 가능한 숫자열인데 소수의 차원에서 알아보겠다는 것이죠. 칸토어의 대각선 논법에 따르면, 자연수의 경우에 0, 1 사이 실수와 일대일 대응을 시켜도 대각선으로 이어 하나씩 숫자를 바꾸면 일대일 대응을 벗어난 새로운 숫자를 항상 확실하게 발견할 수 있었습니다. 그러나 (소수의 차원에서) 0~9로 나타낼 수 있는 모든 숫자열을 0, 1 사이 실수와 대응시키고 대각선을 모두 쭉 연결하여 아예 새로운 숫자를 찾아도 이번 경우엔 그 새로운 숫자마저도 항상 0~9로 나타낼 수 있는 "모든" 숫자열에 포함되게 됩니다. 이런 식으로 0~9로 나타낼 수 있는 모든 숫자열은 자연수와 일대일 대응이 되지 않는 비카운터블 무한이 됩니다. (수학적으로, 0과 1 사이의 실수의 농도는 실수 전체의 농도와 같습니다)  

 

2. PI 소수점이 자연수 전체 혹은 카운터블 무한인 이유?

3.141596... 소수 점을 묶을 수 있는 i {1, 2, 3, ...}가 있다고 해보겠습니다. i 의 표현의 의미는 0.141596... 이렇게 이어지는 PI의 무한한 소수점을  i만큼 묶을 수 있다는 것입니다. 다시 말해서, i가 1일 경우에 1 그리고 4 그리고 5... 이런 식으로 1씩 진행되고  i가 2일 경우에 14 그리고 15 그리고 96... 이런 식으로 2씩 진행됩니다. 이렇게 보면 분류는 쉬워집니다. 0~9로 나타낼 수 있는 모든 숫자열은 i {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 를 똑같이 적용하여 i가 무한일 때 대각선 논법으로 새로운 수를 찾을 수 있기에 자연수와 일대일 대응이 되지 않지만, PI 소수점은 칸토어의 대각선 논법을 사용해도 새로운 수를 찾을 수 없어 자연수와 일대일 대응이 됩니다. 이에 대해 조금 더 명확하게 논리적인 근거로 표현하면, 칸토어의 대각선 논법을 적용하여  i를 무한대로 두고 PI 안에 소수점 수열을 보면

141596...       41596...         1596...      596...

이런 식으로 (맨 앞에) 한 칸씩 빼서 무한 번 진행하는 것 외에는 없다는 것이 드러납니다. PI의 무한한 소수 진행은 한 방향으로 가기 때문입니다 (다시 말해서, 왼쪽 방향으로 무한한 진행을 할 수가 없습니다 무한한 진행은 오직 오른쪽 방향으로 갈 뿐입니다) 설령 소수점 자리 152616번째부터 그 이후 무한한 소수점자리까지 진행하는 식으로 이게 한칸씩 가는게 아니라 주장할 수도 있지만 사실 이 역시도 한칸씩 갈 때 152616번째 경우일 뿐입니다. 이런 식의  PI 소수점 i 무한대를 정의하게 되면 한 칸씩 빼는 무한한 소수진행이므로 자연수 1, 2, 3... 무한대 등으로 각기 맵핑할 때 각 경우의 수는 모두 자연수와 1대 1 대응이 됩니다. (그러므로) 칸토어의 대각선 논법을 사용해도 다른 수는 발견되지 않으며 중간에 수를 임의로 변경하면 PI의 소수점이 아니게 될 뿐입니다. 그러므로 PI 소수점은 자연수 전체와 1대 1 대응이 되는 카운터블 무한이 됩니다. (만약에 i가 무한대가 아니라면 이는 너무나 쉽게 됩니다. i가 무한대가 아니라 한정된 수 예를 들어, 1, 2, 3… 그런 수라면 설령 가능한 모든 경우의 수라도 자연수와 1대 1 대응이 되기 때문입니다. 따라서 어떠한 경우의 수라도 PI 소수점은 카운터블 무한이 됩니다) 

 

 

결론 : 그러므로 이제 결론은 아주 간단합니다

카운터블 무한인 PI 소수점에 비카운터블 무한인 0~9로 나타낼 수 있는 모든 숫자열의 집합이 "모두" 담길 수 있는 "공간"이 없습니다. 그렇기에 PI 소수점은 무한이라고 해도 0~9로 이루어진 모든 가능한 숫자열을 포함하지 않습니다    QED

 

 

(당연히 제가 쓴 증명이구요 저는 보통 사람이기에 제가 쓴 이 증명에 논리적인 오류가 있을 수 있습니다 혹시 논리적인 오류를 찾으신 분은 말씀해주세요

언어적인 오류지적은 받지 않습니다. 일부러 일반적인 사람들도 읽을 수 있게끔 평이한 언어로 적었기 때문입니다)