크리스마스 때 돌덩이를 선물받은 아이가 절규하며 그 돌을 숲에 던질 확률은?

   1)이 이야기를 잘 들어보세요. 지금부터 게임을 할 겁니다. 당신은 앞면이 나올 때까지 동전을 던집니다. 뒷면이 나온 경우 다시 던집니다. 뒷면이 나와도 횟수는 증가합니다. 1회때 앞면이 나오면 1원,  2회 때 앞면이 나오면 2원, 3회 때 앞면이 나오면 4원... 이런 식으로 횟수에 맞게 2배로 증가하며 앞면이 나온 순간 상금은 지급되고 게임은 종료됩니다. 당신은 이 게임을 하기 위해 참가비를 스스로 책정하여 지불해야 합니다. 얼마를 내고 참가하시겠습니까? 

당신은 합리적인 계산을 위해 기댓값을 계산해보기로 했습니다. 

1*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + ... + 2^(n-1)*(1/2)^n.... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ..... = 무한 

어 그런데 뭔가 이상합니다. 이 게임의 기댓값은 무한입니다 ! !!!!!! 

 

2) 봉투 A와 봉투 B가 있습니다. 게임의 룰은 간단합니다. 봉투 A는 무조건 봉투 B보다 2배의 금액이 들어있습니다. 문제는 양 봉투가 외관상으로 완벽히 같기 때문에 어떤 봉투가 A인지 B인지 알 방법은 없다는 것입니다. 당신은 어떤 봉투를 선택하였고 다른 참가자는 남은 봉투를 선택하였습니다. 당신이 몰래 봉투를 열어보니 10000원이 들어있습니다.상대방과 바꿀 수 있는데, 바꾸시겠습니까? 

여기서도 당신은 기댓값을 계산합니다. 

만약 상대방의 봉투가 A이면,   만약 상대방의 봉투가 B이면 

20000*1/2 + 5000*1/2 = 1만 2500원 

근데 여기서 괴상한 역설이 생깁니다. 놀랍게도 상대방 입장에서 기댓값은 (설령 2만원을 가지고 있다고 해도) 정확히 같은 논리에 의해서 자신이 가지고 있는 것보다 많습니다. 한 봉투가 다른 봉투보다 2배가 큰 상황임에도 양 쪽 모두 바꾸는 것이 유리하다는 똑같은 결론에 도달합니다. 

 

1), 2)번 보두 기댓값에 관한 이야기라는 점 쉽게 알 수 있을 것입니다. 첫 번째 제시된 문제는 상트페테르부르크의 패러독스로 다니엘 베르누이에 의해 제시된 것입니다. 양 문제 모두 공통되게 '기댓값은 그저 숫자에 불과할 뿐 현실을 온전히 반영하는 것은 아니'라는 점을 보여주고 있습니다 

 

1) 이 기댓값이 무한이기는 하지만 한 가지 말이 안 되는 전제가 숨어있습니다. 그것은 바로 매우 낮은 가능성을 뚫고 앞면이 나오는 것이 충분히 무한한 N 회의 시도 후에 나온다는 가정입니다. 사실 이는 말이 안 됩니다. 현실적으로 조작 없이 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 50%입니다. 따라서 9회 내내 뒷면이 나오다가 10회 때 앞면이 나올 확률은 1/2^10입니다. 즉 매우 낮죠. 이게 무한하게 이어지는 식으로 계산하면서 그게 현실을 반영하리라 보는 것은 올바른 기대가 아닐 겁니다.  따라서 여기에는 현실적인 내용이 기댓값에 반영되어지는게 옳겠죠. 

 

2) 양측의 기댓값은 정확히 같은 논리로 이루어져 있습니다. 그러나 한쪽이 다른 봉투보다 명백하게 크므로 누군가는 이득, 누군가는 손해라는 것 역시 명백합니다. 그러나 이를 두고 굳이 역설이라고 생각할 이유는 없습니다. 애초에 확률이라는 것이 상대적이기 때문입니다. 이를 정식 교과과정에서는 조건부 확률이라고 부릅니다. 따라서 기댓값이 정확히 같은 논리로 양측 모두 높게 나와도 역설은 되지 않습니다. 

 

이렇게 하면 1번과 2번이 모두 쉽게 풀립니다.