베르트랑의 상자 패러독스 설명

프랑스 수학자 조제프 베르트랑이 생각해 낸 베르트랑의 상자 패러독스라는 것이 있다. 기본적인 얼개는 다음과 같다. 3개의 상자 A, B, C가 있다. 3개의 상자는 모두 좌, 우 두 칸으로 분리되어 있으며 그 칸은 따로 따로 열어볼 수도 있지만, 상자 밖에서는 상자 안이 보이지 않는다. A 상자에는 좌, 우 모두 금화가 B 상자에는 좌, 우 모두 은화가 C 상자에는 좌쪽에는 은화 우쪽에는 금화가 들어 있다. 이 때 누군가가 A, B, C 중 아무 상자의 오른쪽 칸을 열어보았다 (편의상 A B C로 나누었지만 외관상으로 각 상자는 완전히 똑같다) 그 오른쪽 칸 안에는 금화가 있었다. 이 경우 이 상자가 한 칸에 금화, 나머지 칸에는 은화가 들어 있는 상자일 확률은 얼마일까? 바로 이것이 이 패러독스가 제시한 문제이다 

어떻게 생각하는가? 이는 직관적으로 생각하면 너무 쉽다. 한쪽을 열었을 때 금화가 나왔으니 B 상자는 자동으로 제외된다. 다른 외부 조건이 없으니 A 상자와 C 상자를 선택했을 확률은 동일하므로 이 상자가 한 쪽에 은화, 다른 한 쪽에 금화가 들어있는 C 상자일 확률은 50%이다. 어떤가? 이해가 잘 되는가? 이해가 잘 된다면, 낚인 것이다. 실제로 이 상자가 C 상자일 확률은 50%가 아니다. 바로 이게 이 문제가 패러독스인 이유이다. 더 정확히 서술하자면, 이 상자가 C 상자일 확률은 1/3이다. 당신은 정말 말도 안 되는 얘기라고 말할 수 있다. 충분히 직관적으로 동의하는 부분이다. 이 문제 풀이에 대해서는 죄수 3명의 딜레마 (단순 죄수의 딜레마가 아니라 죄수 3명의 딜레마이다) 참고해보면, 좀 더 쉽게 풀린다. 양 문제의 논리구조가 완벽히 똑같기 때문이다. 

다만, 이 글을 통해서 조망해보고 싶은 부분은 '누군가의 풀이'이다. 누군가는 이 문제를 보고 금화 수의 차이 때문에 2/3, 1/3 확률 차이가 발생한다고 말했다. 물론, 그가 조건부의 확률을 생각하고 말했다면, 그의 설명은 일리가 있다. 그러나 그가 단순히 금화 숫자에 차이가 있어서 확률 차이가 나는 거라고 (조건부 확률 고려 없이 말했다면) 그 말은 틀린 것이다. 반박하는 원리는 다음과 같다. 만약 각 상자의 칸이 좌우 뿐만 아니라 중앙까지 해서 3칸으로 나뉜다고 가정해보자. 한 상자는 모두 은화 다른 한 상자는 모두 금화이며 남은 한 상자는 오른쪽 칸만 금화이고 나머지 두 칸은 은화이다. 이 때 위처럼 특정 상자의 오른쪽 칸을 열어서 금화가 나왔다고 가정해보자. 이런 경우 모든 3칸이 금화로 되어 있는 상자의 금화가 3개이니 확률은 3/3 이라고 말할 수는 없을 것이다. (여기서는 더 깊은 논의의 확장을 일부로 다루지 않았다. 기본적인 설명에 대한 논박만을 제시하였다. 그 점 참고 부탁드린다.) 그리고 위에서 말한 조건부 확률은 '확률 상대성 원리' 와도 관련이 깊다.