수학과 논리적인 사고

 

논리적인 사고가 수학의 전반 혹은 전체를 다룰 만큼 충분히 강력한가?  

이 부분에서 답하고자 하는 부분은 특별히 수학이라는 영역에서 이 책에 담긴 가장 기본적인 논리적인 사고가 적용가능하냐이다. 답부터 말하자면, 가능하다. 충분히 가능하고도 남는다. 이 책에서 나오는 가장 기본적인 논리적인 사고는 먼저 러셀-프레게-화이트헤드 등의 논리주의와는 완전히 구분된다. 가장 큰 차이점은 언어의 복합성이다. 이 책은 언어의 복합성을 온전히 담아내는 논리적 사고이지만, 러셀과 화이트헤드가 쓴 수학원리principia는 언어의 복합성을 포기하고 순수 논리적 사유를 표시하기 위한 기호논리체계였다. (*또 하나의 중요한 차이점 : 러셀- 화이트헤드의 논리주의는 수학의 기초를 온전히 다지려했다. 그러나,내가 말하는 논리적인 사고는 수학의 여러 요소요소마다 직접 적용되어지는 도구일 뿐 수학의 기초를 확고히 할 생각은 없다. )

수학에 나오는 수많은 명제 혹은 공식fomula은 모두 논리적인 사고로 구성되어 있다. 단 하나의 예외도 없이 현재까지 나온 모든 수학 증명은 모두 논리적인 증명이다. 일차원적으로 모든 증명은 삼단논법으로 회귀될 수 있기때문에, 수학에 나온 모든 수학적 증명은 삼단논법으로도 다시 정리될 수 있다. 그리고 좀좀 더 고차원적으로 비교의 논리, 비판, 문제 해결 등의 논리를 여러 부분과 여러 방향에서 수학에 대한 이해와 아이디어를 더욱 풍성히 가지도록 인도하여줄 것이다. 심지어 삼단논법이나 비교의 논리는 수학문제에까지 적용될 수 있는데, 추상-구체의 다리 역할을 하는 삼단논법은 자연스럽게 추상적인 수학이론과 구체적인 수학문제 사이에 다리를 놓을 수 있고, 구체적인 수학의 실사례를 찾는데에도 거의 무한에 가까운 논리 활용이 적용될 수 있기 때문이다. 수학은 논리에 기초한 자유이다. (수식이나 공식도 알고보면 전부 '삼단논법'일 뿐이다. 쫄 이유가 하나도 없다. 삼단논법을 자유자재로 적용할 수 있으니 어떤 수식이나 공식도 거뜬하다.)