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역행렬은 주어진 행렬에 곱할 때 단위 행렬을 생성하는 행렬입니다. 즉, 행렬 A에 대해, 만약 행렬 B가 존재하여 AB = BA = I (여기서 I는 단위 행렬)를 만족한다면, 행렬 B는 행렬 A의 역행렬이라고 합니다. 역행렬은 보통 A^-1로 표기합니다.
행렬식의 문맥에서 역행렬을 이해하는 것은 중요합니다. 행렬이 역행렬을 가지려면, 그 행렬의 행렬식이 0이 아니어야 합니다. 이는 행렬이 선형적으로 독립적인 행(또는 열)을 가져야 함을 의미합니다. 즉, 행렬의 행렬식이 0이 아니라는 것은 해당 행렬이 선형 변환에서 공간을 축소시키지 않는다는 것을 의미합니다.
역행렬의 계산은 행렬의 여인수행렬(cofactor matrix)와 행렬식을 이용하여 이루어집니다. 여인수행렬의 전치행렬을 인접행렬(adjugate matrix, 또는 수반행렬)이라고 하며, 행렬 A의 역행렬은 인접행렬을 행렬식으로 나눈 것과 같습니다.
역행렬은 원래의 행렬에 의한 변환을 '되돌리는' 역할을 합니다. 즉, 벡터 v가 행렬 A에 의해 Av로 이동했다면, A^-1는 Av를 다시 원래의 위치 v로 되돌립니다. 이는 A^-1Av = v라는 식으로 나타낼 수 있습니다.
따라서 행렬식의 문맥에서 역행렬은 주어진 행렬의 선형 변환을 되돌리는 행렬이며, 이는 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우에만 가능합니다. 이는 선형 대수학에서 매우 중요한 개념이며, 많은 문제를 해결하는 데 사용됩니다.
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