기하와 대수

그리하여 나는 한 가지를 알게 되었는데 대수의 어려운 부분이 기하로 풀리며 기하의 어려운 부분이 대수로 풀린다는 것이었다 -데카르트 

1+1=2를 러셀이나 화이트헤드처럼 순수논리학에 기반을 두지않고 대수적인 방법으로 풀었다면 어땠을까? 생각해보자 하나의 순수한 자가 있다 이 자는 하나의 단위로써 1이며 이 단위는 불변한다 이 자가 두 개로 나열된다면 이 나열된 자의 길이는 하나의 자의 정확히 두배이다 그러므로 1+1=2이다 과연 이 증명보다도 1+1=2를 명쾌하게 설명할 수 있을까? 만약 이 증명이 옳다고 해보자 그렇다면 러셀과 화이트헤드는 사상 초유의 바보짓을 한 것이다 둘이 10년에 걸쳐서 바보같은 언어를 창시하였기 때문이다 하지만 동시에 한 가지 더 나아가게 된다 수학에는 미적분이라는 개념이 있다 이 미적분은 우리의 경험적으로 증명되지 않는다 대수의 어려운 부분이 기하로 혹은 경험으로 풀린다면 미적분 안에 포함된 무한소라는 개념은 과연 어떻게 해결할 수 있을 것인가? 수학은 철학과는 달리 개념이 해소되지 않는다 우리는 수학을 가지고 각자가 각자에게 맞는 언어게임을 할 수 없다 우리는 수학으로 다리를 짓기 때문이다 

만약 이 증명이 틀렸다고 해보자 (물론 틀릴 리는 당연히 없지만) 그렇다면 1+1=2의 기반은 과연 어디 있는가? 무한의 거북들의 탑에 있는가?(러셀은 자신의 이론에 논리적인 토대가 무한히 이어진다는 의미에서 공허하다고 말했다 무한의 거북들의 탑은 그 공허함을 빗댄 말이다) 절대 아무런 내용이 없는 논리만으로 내용과 가치를 담은 수학을 온전히 담을 수 없다 물론 수학을 표시하거나 표기할 수는 있다 논리학은 수학을 묘사할 수 있다 하지만 논리학으로는 완벽한 수학을 구축할 수 없다 이것이 논리주의에 대한 나의 답변이다